逆三角関数の微分法（導関数の導出）
\(\arcsin\), \(\arccos\), \(\arctan\) の微分法を解説します。
公式
急いでいる人、公式だけ知れればいいという人はこちらをどうぞ。
\begin{aligned}
\frac{d}{dx}(\arcsin x) & = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\[10px]
\frac{d}{dx}(\arccos x) & =-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\[10px]
\frac{d}{dx}(\arctan x) & = \frac{1}{1+x^2}
\end{aligned}
公式の導出方法
どのような逆三角関数でも、基本的には次の手順で導出が可能です。
- 順関数（逆関数にする前の関数）に書き換える
- \(\style{color:#CF2E2E}{\displaystyle \frac{dx}{dy}}\) を求める
- 逆関数の微分法によって \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) を求める
- \(y\) に \(x\) の式を代入する
おそらく最も簡単かつ分かりやすい方法です。他にもやり方は多くありますが、今回はこれに沿って解説します。
なお、三角関数はその特性上、関数の定義域を限定しないと逆関数を求めることができません。各関数の定義域および値域はそれぞれ書いていますので、注意してください。
\(\arcsin\)
\(y = \arcsin x\) を考えます。
- 定義域：\(-1 \leq x \leq 1\)
- 値域：\(\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}\)
逆関数の定義より
\(y = \arcsin x\) ⇒ \(x = \sin y\)
\(x = \sin y \) を \(y\) で微分すると
\(\displaystyle \frac{dx}{dy} = \cos y \)
逆関数の微分法より
\(
\begin{aligned}
\style{color:#CF2E2E}{ \frac{dy}{dx}} & \style{color:#CF2E2E}{=} \style{color:#CF2E2E}{\frac{1}{\frac{dx}{dy}}} \\[4px]
&= \frac{1}{\cos y}
\end{aligned}
\)
ここで、注意点があります。\(y = \arcsin x\) をそのまま代入してはいけません。
そのまま代入すると \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos(\arcsin x)}\) となります。間違いではないのですが、正直右辺が何を表しているのか分かりづらいです。
式は見やすく・分かりやすく変形したほうがよいです。なので、別の表し方を考えましょう。
今回は \(\cos y\) を変形します。
三角関数の公式より
\(
\begin{eqnarray}
\sin^2 y + \cos^2 y & = & 1 \\[4px]
\cos^2 y & = & 1 - \sin^2 y \\[4px]
\cos y & = & \style{color:#CF2E2E}{±}\sqrt{1 - \sin^2 y}
\end{eqnarray}
\)
ここで、\(\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}\) より、つねに \(\cos y \geq 0\) なので
\(\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y}\)
\(x = \sin y\) であるから
\(\cos y = \sqrt{1 - x^2}\)
以上より
∴ \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \style{color:#CF2E2E}{\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\)
\(\arccos\)
\(y = \arccos x\) を考えます。導出方法は \(\arcsin\) とほぼ同じです。
- 定義域：\(-1 \leq x \leq 1\)
- 値域：\(0 \leq y \leq \pi\)
逆関数の定義より
\(y = \arccos x\) ⇒ \(x = \cos y\)
\(x = \cos y \) を \(y\) で微分すると
\(\displaystyle \frac{dx}{dy} = \style{color:#CF2E2E}{-}\sin y \)
逆関数の微分法より
\(
\begin{aligned}
\style{color:#CF2E2E}{ \frac{dy}{dx}} & \style{color:#CF2E2E}{=} \style{color:#CF2E2E}{\frac{1}{\frac{dx}{dy}}} \\[4px]
&= \style{color:#CF2E2E}{-}\frac{1}{\sin y}
\end{aligned}
\)
\(\arcsin\) と同じく、\(y = \arccos x\) をそのまま代入してはいけません。
そのまま代入すると \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin(\arccos x)}\) となり、右辺が何を表しているのか分かりづらいからです。
なので、別の表し方を考えましょう。
今回は \(\sin y\) を変形します。
三角関数の公式より
\(
\begin{eqnarray}
\sin^2 y + \cos^2 y & = & 1 \\[4px]
\sin^2 y & = & 1 - \cos^2 y \\[4px]
\sin y & = & \style{color:#CF2E2E}{±}\sqrt{1 - \cos^2 y}
\end{eqnarray}
\)
ここで、\(0 \leq y \leq \pi\) より、つねに \(\sin y \geq 0\) なので
\(\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y}\)
\(x = \cos y\) であるから
\(\sin y = \sqrt{1 - x^2}\)
以上より
∴ \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \style{color:#CF2E2E}{\frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\)
\(\arccos\) では \(-\)（マイナス符号）に注意しましょう。
\(\arctan\)
\(y = \arctan x\) を考えます。
- 定義域： \(x \in \mathbb{R}\)（すべての実数）
- 値域：\(\displaystyle -\frac{\pi}{2} \style{color:#CF2E2E}{\lt} y \style{color:#CF2E2E}{\lt} \frac{\pi}{2}\)
初めに言っておきますが、\(\displaystyle \arctan x = \frac{\arcsin x}{\arccos x}\) は成り立ちません。\(\sin\), \(\cos\), \(\tan\) は辺の長さの比を表す関数なのに対し、\(\arcsin\), \(\arccos\), \(\arctan\) は角度を表す関数だからです。両者は根本的に異なります。
とは言え、公式は \(\arcsin\), \(\arccos\) とほぼ同じ方法で求められます。手順を見ていきましょう。
逆関数の定義より
\(y = \arctan x\) ⇒ \(x = \tan y\)
\(x = \tan y \) を \(y\) で微分すると
\(\displaystyle \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\cos^2 y} \)
逆関数の微分法より
\(
\begin{aligned}
\style{color:#CF2E2E}{ \frac{dy}{dx}} & \style{color:#CF2E2E}{=} \style{color:#CF2E2E}{\frac{1}{\frac{dx}{dy}}} \\[4px]
&= \cos^2 y
\end{aligned}
\)
\(\arcsin\), \(\arccos\) と同じく、\(y = \arctan x\) をそのまま代入してはいけません。
そのまま代入すると \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \cos^2 (\arctan y)\) となり、右辺が何を表しているのか分かりづらいからです。
なので、別の表し方を考えましょう。
今回は \(\cos^2 y\) を変形します。
三角関数の公式より
\(
\begin{eqnarray}
\frac{1}{\cos^2 y} & = & 1 + \tan^2 y \\[4px]
1 & = & \cos^2 y (1 + \tan^2 y) \\[4px]
\frac{1}{1 + \tan^2 y} & = & \cos^2 y \\[4px]
\cos^2 y & = & \frac{1}{1 + \tan^2 y}
\end{eqnarray}
\)
\(x = \tan y\) であるから
\(\displaystyle \cos^2 y = \frac{1}{1+x^2}\)
以上より
∴ \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \style{color:#CF2E2E}{\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2}}\)
まとめ
今回は逆三角関数の微分法を解説しました。手順が分かっていればそれほど難しくありません。
なお、STEP2 で「\(\displaystyle \frac{dx}{dy} \) を求める」と説明しましたが、\(\displaystyle \frac{dx}{dy}\) を経由せず、いきなり \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) を求めることもできます。しかし、直感的に分かりづらいので、今回は解説しませんでした。機会があれば追記します。
逆三角関数の性質を知りたい場合はこちらの記事が役立ちます。
